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Ed. Espasa Calpe, año 1948. Tamaño 18 x 12 cm. Estado: Usado muy bueno. Cantidad de páginas: 156
La vida de Arquímedes se ha reconstruido sobre la base de fragmentos diversos de autores distintos, en especial de los historiadores de las guerras púnicas. El hecho indudable de haber muerto Arquímedes en el saqueo que siguió a la caída de Siracusa en manos de Marcelo, durante 212 a. de C., con el testimonio de Proclo y la noticia proporcionada por un matemático bizantino del siglo XII, Tzetzes, de haber vivido Arquímedes setenta y cinco años, fijan la fecha de nacimiento de éste en 287 a. de C.
Las actividades de su padre, el astrónomo Fidias, influyeron sin duda en la vocación y formación científica de Arquímedes, quien desde joven estuvo en Alejandría, donde trabó amistad con varios maestros alejandrinos, con quienes luego mantuvo correspondencia científica. Los maestros fueron los sucesores de Euclides: Conon de Samos y, a la muerte de éste, Dositeo de Pelusa y Eratóstenes. Regresado a Siracusa dedicó toda su vida a la investigación científica.
La anécdota más conocida de Arquímedes, la de la «corona de oro de Hierón», se conoce a través de Vitruvio, quien en su Arquitectura la refiere en los siguientes términos:
«Entre el gran número de descubrimientos admirables realizados por Arquímedes, hay que señalar el que voy a citar y en el que puso de manifiesto una sutileza casi increíble. Cuando Hierón reinaba en Siracusa, este príncipe, por los éxitos logrados en sus empresas, se propuso ofrecer en un cierto templo una corona de oro a los diosxes inmortales. Convino la confección de la obra con un artesano mediante una buena suma de dinero y la entrega de la cantidad de oro en peso.
El artesano entregó la corona en la fecha convenida al rey, quien la encontró perfectamente ejecutada, pareciendo que contuviera todo el oro que se le había entregado. Pero habiendo obtenido indicios de que el artesano había retenido una parte del oro, sustituyéndolo por un peso equivalente de plata, el rey, indignado ante ese engaño y no teniendo a manos los medios para demostrar al artesano su fraude, encargó a Arquímedes que se ocupase del asunto y que con su inteligencia encontrase esos medios.
Un día que Arquímedes, preocupado por este asunto, entró por casualidad en una casa de baños, advirtió que a medida que se introducía en la bañera, el agua desbordaba de la misma. Esta observación le hizo descubrir la razón que buscaba, y sin aguardar más por la alegría que este hecho le producía, salió del baño aún desnudo y corriendo hacia su casa gritaba: ¡Eureka! ¡Eureka!, decir, ¡lo he encontrado!, ¡lo he encontrado!
A raíz de este descubrimiento encargó entonces dos masas de igual peso que el de la corona, una de oro y otra de plata. Sumergió luego la masa de plata en un vaso, lo que hizo salir una cantidad agua igual al volumen de esa masa; sacó entonces la masa y volvió a llenar el vaso con una igual cantidad de agua que había salido y que se preocupó de medir, de manera que pudo conocer la cantidad de agua que correspondía a la masa de plata que había introducido en el vaso.
Después de esta experiencia sumergió igualmente la masa de oro en el vaso lleno de agua, y después de haberla retirado midió nuevamente el agua desalojada, encontrando que la masa de oro no había desalojado tanta agua como la masa de plata y que la diferencia en menos era igual a la diferencia entre los volúmenes de la masa de oro y de la masa de plata de igual peso.
Finalmente volvió a llenar el vaso sumergiendo esta vez la corona, que desalojó más agua de la que había desalojado la masa de oro de igual peso, pero menos de la respectiva de la masa de plata. Calculando entonces, de acuerdo a estas experiencias, en cuánto la cantidad de agua que la corona había desalojado era mayor de aquella que había desalojado la masa de oro, conoció cuánta era la plata que se había mezclado al oro, mostrando así claramente el fraude del artesano».
La otra anécdota conocida de Arquímedes, según la cual éste habría pronunciado la célebre frase, tan retórica como absurda: «Dadme un punto de apoyo y levantaré el mundo», está narrada por Pappus, comentarista de fines del siglo III, y por Plutarco, en conexión con el problema: Mover un peso dado, mediante una fuerza dada; aunque Plutarco la viste de la siguiente manera:
«Arquímedes, pariente y amigo de Hierón, le escribió que con una potencia dada se puede mover un peso igualmente dado, y jugando, como suele decirse, con la fuerza de la demostración le aseguró que si le dieran otra Tierra movería ésta después de trasladarse a aquélla. Hierón, maravillado, le pidió que verificara con obras este problema e hiciese ostensible cómo se movía alguna gran mole con una potencia pequeña, utilizó un gran transporte de tres velas del arsenal del rey, que fue sacado a tierra con mucho trabajo y a fuerza de un gran número de brazos; Arqúimedes lo cargó de gente y del peso que solía echársele, y sentado lejos de él, sin esfuerzo alguno y con sólo mover con la mano el cabo de una máquina de una gran fuerza atractiva, lo llevó así derecho y sin detenerse como si corriese por el mar.
El rey Hierón quedó pasmado, y convencido del poder del arte, encargó a Artquímedes que le construyese toda especie de máquina de sitio, bien fuese para defenderse o bien para atacar; de las cuales él no hizo uso, habiendo pasado la mayor parte de su vida exenta de guerra y en la mayor comodidad; aunque luego tuvieron los siracusanos menester de aquellas máquinas y de su artífice».
Valerio Máximo relata el final de la vida de Arquímedes:
Marcelo, dueño finalmente de Siracusa, no ignoraba que habían sido las máquinas de ese geómetra las que habían demorado tanto tiempo la victoria. Sin embargo, lleno de admiración por ese genio extraordinario, dio orden de conservarle la vida, siendo para él de tanta gloria la conservación de Arquímedes como la toma de Siracusa.
Pero mientras Arquímedes con la vista y la atención fijas en el suelo trazaba figuras, un soldado que había penetrado en la casa para saquearla levantó sobre él su espada, preguntándole quién era. Arquímedes, totalmente dedicado al problema cuya solución buscaba, no atinó a decirle su nombre, sino que le mostró con las manos las líneas dibujadas sobre la arena y le dijo: «Por favor, no borres eso».
Y el soldado, viendo en esta respuesta un insulto al poder de los vencedores, le cortó la cabeza; y la sangre de Arquímedes se confundió con la labor de su ciencia».
Entre las obras de Arquímedes, destacan:
1- De la esfera y del cilindro. Libros I y II
El primer libro puede considerarse como un complemento de los Elementos de Euclides, en lo referente a la geometría del espacio, pues trata de las áreas y volúmenes de los cuerpos redondos: esfera, cono, cilindro, los segmentos respectivos y de sus relaciones mutuas. El segundo libro comporta una serie de problemas, algunos de los cuales, nada fáciles por cierto, conducen a problemas del mismo tipo que los de la duplicación del cubo y de la trisección del ángulo. Es uno de los más hermosos escritos de Aruímedes; algunos de sus resultados, tales como el área lateral del cono y del cilindro y el área de la esfera se han incorporado a nuestra geometría elemental, pues no figuraban en los Elementos; otros resultados presentan tal sencillez y simetría que se explica el deseo de Arquímedes de que quedaran eternamente grabados sobre su tumba.
2- De los conoides y de los esferoides
Este trabajo, cuyo título contiene nombres hoy inusitados, es en cierto sentido una continuáción del anterior, pues estudia las propiedades y comparaciones de otros sólidos que trascienden la geometría elemental, pues son los obtenidos por rotación, alrededor de uno de sus ejes, de las tres cónicas, más exactamente: son los sólidos, que hoy designamos elipsoide de revolución e hiperboloide (de dos hojas) de revolución. No sólo las figuras no pueden estudiarse con los recursos de la geometría elemental, sino que sus resultados se obtendrían hoy más cómodamente mediante los recursos del análisis infinitesimal. Basta el simple enunciado de este hecho para advertir el valor científico de este escrito y su importancia, así como comprender la dificultad que ofrece su lectura y estudia, pues en él se obtienen, por los procedimientos geométricos de los antiguos, resultados que hoy preferimos obtener por el cálculo integral nacido en el siglo XVII.
3- De las espirales
Este escrito es un estudio monográfico de una curva plana, hoy llamada espiral de Arquímedes, que se engendra por una simple combinación de movimientos de rotación y traslación. Aunque se trate de una línea, este escrito tiene las mismas características y las mismas dificultades que el anterior, pues también en éste muchos de los resultados fatigosamente obtenidos por Arquímedes mediante los métodos antiguos, se obtienen hoy cómodamente por los medios del análisis infinitesimal. Entre esos resultados figura un procedimiento para rectificar la circunferencia.
4- De la medida del círculo
Este escrito, uno de más breves de Arquímedes, pues no comporta sino tres proposiciones, o mejor dos, pues la tercera es un corolario inmediato, resulta el trabajo que mejor revela a nuestro modo de ver la mente matemática de Arquímedes. Desaparecen en este escrito las limitaciones de la matemática griega frente a la logística, y la separación entre aritmética práctica y geometría; y en un alarde técnico se combinan admirablemente la matemática exacta y la aproximada, la aritmética y la geometría para impulsar y encaminar en una nueva dirección el clásico problema de la cuadratura del círculo.
5- Cuadratura de la parábola
El interés de este escrito es de índole distinta. Por un lado, ofrece el primer ejemplo de cuadratura, es decir, de determinación de un polígono equivalente, de una figura plana mixtilínea (las lúnulas de Hipócrates habían sido las primeras curvilíneas): el segmento de parábola. Por otro lado, aparecen en este escrito consideraciones no estrictamente matemáticas en el sentido actual del término, pues además de una demostración geométrica del resultado principal, obtiene éste por un procedimiento «mecánico», utilizando la teoría de la palanca y de los centros de gravedad, que Arquímedes había estudiado en otros escritos. De ahí que en general se considere este escrito como formando parte integrante de los escritos de Arquímedes sobre la estática.
6- El Arenario
Este escrito no es una memoria científica en sentido estricto, sino una brillante
prueba de la versatilidad del genio de Arquímedes. Persiguiendo una finalidad didáctica y partiendo de una frase poética, Arquímedes realiza un estudio en el que intercala un sistema de numeración propio, que le permite calcular y, sobre todo, designar números enormes, y una serie de consideraciones astronómicas de gran importancia histórica, pues en ellas se alude al sistema heliocéntrico de la antigüedad, debido a Aristarco de Samos.
7- Del equilibrio de los planos o De los centros de gravedad de los planos (la palabra plano debe entenderse como figura plana limitada). Libros I y II
Este escrito, cuyo título en griego tendría el significado actual: «De los planos de igual momento estático», es el primer tratado cintífico (conocido) de estática. Pero difiere bastante de los capítulos de estática que figuran en los actuales libros de mecánica, pues Arquímedes construye su estática a la manera euclídea, con definiciones y postulados, y sobre la base de demostraciones geométricas, sin más que atribuir a cada punto de la figura su peso. En el primer libro considera las condiciones de equilibrio de la palanca y la determinación de los centros de gravedad de algunos polígonos, mientras que en el segundo libro se llega a la determinación del centro de gravedad de un trapecio parabólico: porción de parábola comprendida entre dos cuerdas paralelas.
8- De los cuerpos flotantes (Libros I y II)
De manera semejante se sientan en este escrito las bases científicas de la hidrostática. El actualmente llamado «principio de Arquímedes» figura en el primer libro, mientras en el segundo se llega a considerar las condiciones de equilibrio de un segmento de paraboloide de revolución, sumergido en un líquido más denso. Fuera de la indiscutible importancia mecánica de estos resultados, que involucran la actual teoría del metacentro, es en este teoremas donde Arquímedes realiza sus mayores proezas técnicas desde el punto de vista matemático.
9- Del Método relativo a los teoremas mecánicos
Este escrito, que se cita abreviadamente como el Método y que recién apareció a principios de este siglo, es una larga carta dirigida a Eratóstenes en la que Arquímedes le expone un método de descubrimiento, quizá mejor de investigación, que él ha utilizado en la determinación de muchos de los resultados geométricos o mecánicos cuya demostración realiza brillantemente en sus escritos puramente científicos.
INDICE
I- La matemática en el siglo III a. de C.
1-Las guerras púnicas
2- La cultura helenística
3- Euclides y los «Elementos»
4- La matemática que no figuraba en los «Elementos»
II- Arquímedes
5- Su vida
6- Su obra
III- Arquímedes y la matemática
7- Fundamentos
8- Aritmética
9- Sumas
10- Planimetría
11- Estereometría
12- Astronomía
13- Estática
14- Hidrostática
15- El «Método»
16- Matemática recreativa
17- Los inventos
18- Conclusión
Indice de nombres