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Ed. Red Olímpica, año 1995. Tamaño 26,5 x 19,5 cm. Estado: Usado muy bueno. Cantidad de páginas: 134
La geometría de Euclides, el análisis matemático de Newton y Leibniz, y más recientemente la geometría diferencial, estudian funciones, curvas y superficies que son «suaves» en el sentido que siempre (salvo quizás unos pocos puntos) tenemos nociones como tangente a una curva o superficie. Esto es así porque la geometría y el cálculo tratan de modelar fenómenos de la Naturaleza y pareciera que el modelo más sencillo es considerar, por ejemplo el tiempo, como un continuo de puntos, sin interrupciones ni quiebres. Más pedestremente, es más sencillo para nosotros tratar de diseñar o fabricar una mesa con bordes rectos.
Hay muchos aspectos de la Naturaleza que no se pueden aproximar razonablemente con estos modelos: la forma de las nubes, las galaxias, la costa del mar. Por ejemplo, a cierta escala es razonable modelar una hoja de papel como una porción del plano euclídeo, pero mirado con lupa, aparecen irregularidades (pelos) sin mayor orden. En fin, a escala atómica veríamos que la hoja de papel no es ni siquiera continua!
Para aproximar esta realidad, se han considerado varios modelos que incluyen aspectos como las probabilidades (piensen ustedes en la orientación de los «pelos» en la hoja de papel), que de alguna manera incorporan el orden dentro del desorden. No crean ustedes que es necesario ir a escala microscópica para observar estos fenómenos: un paisaje de montañas muestra irregularidades regulares (!!!???) aún visto de lejos.
Benoit Mandelbrot, trabajando para IBM en la década del 70, fue el que relacionó las consideraciones anteriores con otros problemas matemáticamente difíciles: los relacionados con bifurcaciones y caos. Suscintamente en estos temas se trata de estudiar la evolución de sistemas dinámicos que en algún momento cambian bruscamente de régimen o llegan a un comportamiento aparentemente irregular sin que hayan intervenido perturbaciones grandes. Piensen ustedes en el flujo del agua en un chorro de canilla: comienza como una columna sólida pero de pronto se «desarma» y aparecen gotas para después, si el chorro es suficientemente alto, terminar como lluvia (como en una catarata). Además, la forma del chorro depende mucho de cuánto abramos la canilla.
Al principio se pensó que la descripción de fenómenos de este tipo era complicada debido a la gran cantidad de variables que intervenían en el sistema (por ejemplo las moléculas de agua, su posición y velocidad), sin embargo grande fue la sorpresa cuando el estudio de una ecuación muy sencilla y «suave» de una variable, la ecuación logística, llevó a las mismas conclusiones: pequeñas desviaciones pueden producir comportamientos muy diferentes.
Mandelbrot es quien propuso el término fractal para describir ciertas curvas y superficies que a pesar de ser «rugosas» conservan cierta «regularidad», y que si bien no pueden ser estudiadas directamente con las herramientas de la geometría euclídea o del cálculo, se pueden describir matemáticamente. Muchos de estos fractales aparecen como mejores aproximaciones que las curvas y superficies «suaves» a formas de la naturaleza como montañas o costas, y también aparecen en el estudio de funciones como en la ecuación logística. Así, los fractales tienen importancia en el estudio de las ciencias, tanto dentro de matemáticas como también en especialidades de física, química o biología, por su relación con los sistemas dinámicos pero su «popularidad» se debe principalmente a los gráficos que se generan a partir de ellos, usándose como herramienta (así como rectas o elipses) en diseño gráfico (los software modernos para dibujos gráficos no técnicos incluyen la «fractalización», tanto que una compañía de software inclusive tomó el nombre Fractal Design) y aplicaciones como generación por computadora de paisajes (una empresa líder en este rubro es Lucasfilm) y compresión de imágenes (para hacer más pequeños los archivos en los que se guardan las imágenes en la computadora, lo que también hace más rápida su transferencia).
Por supuesto, Mandelbrot se apoyó en la obra anterior de muchas personas, especialmente la que a principio de siglo desarrollaron Hausdorff, estudiando medidas y dimensiones de conjuntos, generalizando a su vez la obra de Lebesgue, y Fatou y Julia, quienes estudiaron la forma de conjuntos surgidos en el estudio de funciones de variable compleja. Vemos aquí una vez más e! fenómeno de cómo investigaciones de matemáticas puras es usado después por las matemáticas aplicadas, lo que no debe sorprender pues el estudio de las cónicas realizados por los griegos encontró aplicaciones casi 2000 años después en las investigaciones de Kepler sobre el movimiento de los planetas.
También en las investigaciones de Mandelbrot tuvo importancia decisiva el grado de desarrollo de una nueva herramienta para el estudio de las matemáticas: !a computadora. Así, las propiedades que Fatou y Julia habían descripto teóricamente pudieron por primera vez «verse» (en realidad ver una aproximación suficientemente descriptiva) con el uso de las computadoras en la década del 70, con lo que la teoría pudo desarrollarse mucho más allá de lo que se había hecho a principios de siglo. El difundido conjunto de Mandelbrot, cuyas primeras imágenes fueron generadas en 1980, describe el comportamiento de una variante de la ya citada ecuación logística ante la variación de parámetros y si bien podemos «verlo» en el sentido anterior, aún quedan muchas propiedades que no se han podido demostrar.
En estas notas, dirigidas principalmente a profesores y estudiantes de enseñanza media, daremos una ojeada a los fractales, raspando apenas la superficie. Estas notas deben considerarse como una introducción al tema y no un libro de texto, de modo que no vamos a entrar en demasiados tecnicismos matemáticos y en consecuencia no veremos muchas de las aplicaciones posibles. En especial, no vamos a dar una definición formal de fractal, lo que no parece terrible pues se puede trabajar con rectas mucho antes de su definición formal. Del mismo modo no vamos a definir conceptos como bifurcación o caos. El nivel va a ser elemental en general, aunque en las matemáticas usaremos, sin explicitar demasiado, la idea intuitiva de límite y para estudiar los conjuntos de Julia y Mandelbrot usaremos cuestiones básicas de números complejos. En algunas ocasiones hemos incluido material un poco más avanzado para aclarar algunos conceptos, destinado a los lectores que tengan inquietudes y conocimientos apropiados. Ei lector seguramente reconocerá y podrá saltear estos párrafos si así lo desea.
A pesar de no ser un libro de texto y el nivel ser elemental, para entender el contenido de estas notas será necesario que el lector dedique tiempo a su lectura, trabajando con lápiz y papel y, preferentemente, también con una computadora. Las notas están escritas en forma coloquial, imitando de alguna forma el dictado de una serie de clases. De hecho, estas notas están basadas en cursos dictados a profesores de enseñanza media organizados por la Olimpiada Matemática Argentina (OMA), y se han beneficiado con la participación de los alumnos. Así por ejemplo, en los algoritmos he descartado el uso de recurrencia en favor del uso exclusivo de iteraciones ya que, como señalaron los mismos alumnos, el concepto de iteración es más natural.
El plan es el siguiente; primeramente veremos la idea de iteración de funciones, recordando el clásico algoritmo de los babilonios para aproximar raíces cuadradas. Veremos también como una aparentemente inocente modificación de este algoritmo puede llevarnos a la idea del caos. En la segunda parte, veremos fractales geométricos o clásicos, ilustrando diversas técnicas de programación; hacía el final de esta parte comentaremos sobre qué es la dimensión según Hausdorff y el concepto de fractal. En la tercera parte veremos los que Santaló denomina fractales modernos, estudiando para ello la ecuación logística y dibujando el diagrama de órbitas, los conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot. Finalmente, en la última parte veremos muy brevemente cómo las probabilidades se unen con las ideas de los fractales para llegar a obtener aplicaciones interesantes.
Los fractales son un tema de moda, pero el lector no debe quedarse sólo con los «espejitos de colores». Debe, ser consciente que la demostración que determinado objeto es un fractal es en general muy difícil. Estas notas son sólo un «paseo», para comprender seriamente el tema el lector tendrá que dedicar varios años a su estudio: así, por ejemplo, debe aprender medida de Lebesgue, medida y dimensión de Hausdorff y estudiar los distintos tipos de autosemejanza, conceptos que necesitan de herramientas matemáticas avanzadas.
¿Por qué están destinadas estas notas a la escuela media?. ¿Cuál es la importancia de los fractales para ese nivel de enseñanza?
Al estudiar matemáticas, los estudiantes de las escuelas primarias y sobre todo secundarias, se quedan con la impresión de que no hay nada nuevo en matemáticas desde Euclides o Pitágoras, es decir, desde hace más de 2000 años. Con un poco de suerte, creerán que las matemáticas dejaron de desarrollarse después de Newton (hacia 1700) o Gauss (hacia 1800). En cambio no quedarán con la misma impresión sobre otras ciencias como física, química o biología.
Parte del problema es que los temas que se han investigado más recientemente en matemáticas requieren de conocimientos más avanzados que los que se imparten en la escuela, y quedan fuera temas tan interesantes como geometrías no euclideanas.
Los fractales, justamente, nos dan la oportunidad de acercar algunos resultados obtenidos en estos últimos veinte años que son sencillos de entender en una primera aproximación, nos muestran una teoría en pleno desarrollo en la que hay muchas propiedades que se sospechan pero aún no se han podido demostrar, y que tienen aplicaciones a veces insospechadas.
Por supuesto, no estamos diciendo que sea conveniente incluir el tema fractales en la curricula del secundario, sólo que el tema puede resultar conveniente y atractivo para los alumnos que estén haciendo especialización en ciencias en los últimos años de la escuela media, mientras que varios tópicos que veremos pueden presentarse inclusive en la escuela primaria a alumnos inquietos. Por otra parte, dada la difusión de los gráficos de fractales, es importante que los mismos docentes tengan un conocimiento siquiera superfluo del tema para comprender las propiedades matemáticas expuestas por estos curiosos y hermosos gráficos.
He partido de la base que las matemáticas (y la ciencia) es un todo y que es conveniente mostrar las interconexiones entre las distintas ramas, por lo que he incluido temas que a primera vista no parecen estar directamente relacionados con los fractales.
También es mi opinión que las matemáticas se aprenden más, y son más divertidas, cuando se las hace. Ocurre frecuentemente que las exposiciones en matemáticas dan sólo caminos correctos y depurados (la clásica secuencia definición – lema – teorema – corolario), que deja al lector intimidado, o en el mejor de los casos, con una gran lista de recetas.
Por lo tanto, en más de una ocasión mostraré caminos, a veces equivocados, a veces indirectos, que yo mismo he seguido. No lo he hecho en todas las ocasiones sólo para evitar ser demasiado cargoso o confuso, y para mantener la longitud de las notas finales en un tamaño razonable. Es mi deseo que el lector mire el resultado deseado e intente su propio camino cada vez que le sea posible, cosa que por otra parte va a ser absolutamente imprescindible si trabaja con un software que no es Mathematica.
También he tratado de evitar lo que sucede la mayoría de las veces en las que se usa la computadora en matemáticas: la programación pasa a tener un lugar preponderante relegando en un lugar secundario a las matemáticas. Aunque en este caso es difícil obtener un balance justo, ya que usaremos estructuras de Mathematica que algunos lectores conocerán pero otros no, y me he detenido un poco (quizás mucho para algunos, quizás poco para otros) en la descripción de este software, sobre todo en las primeras secciones.
Siempre está el problema de que las notaciones para los números decimales son diferentes en castellano y en Inglés. Acá, por uniformidad, tomamos siempre el punto en vez de la coma decimal (con perdón de los puristas}. En otras partes, no he seguido una notación uniforme. Por ejemplo, Mathematica usa la notación (a,b) para denotar las coordenadas de un punto en el plano, que usualmente nosotros ponemos (a, b). Esperemos que los lectores puedan discriminar entre estas distintas notaciones para un mismo objeto.
INDICE
Introducción
Un poco de historia
Sobre los contenidos de estas notas
Una nota de atención
Los Fractales y la Enseñanza Media
El uso de la computadora
Bibliografía
Sobre la Filosofìa detrás de estas notas
Nota sobre Notación
Cosas Importantes
Iteración de Funciones
Iteraciones y Mathematica
Babilonios, Newton, y Caos
Fractales Geométricos
Dibujando Arboles
El Copo de Nieve de Koch
El Dragón
Sistemas de Reescritura de Lindenmayer
El Ternario y la Función de Cantor
Curvas de Peano
El Tamiz de Sierpinski
La Dimensión según Hausdorff y los Fractales
El Fractal de Apolonio
Sistemas Dinámicos, Caos y Fractales
¿Qué es un sistema dinámico?
La Ecuación Logística
Comportamiento Dinámico de Otras Funciones
Sistemas Dinámicos y el Conjunto de Cantor
El Diagrama de Orbitas
Conjuntos de Julia
El Conjunto de Mandelbrot
Fractales y Probabilidad
El Juego del Caos
El Helecho de Barnsley
Dibujando Montañas
Referencias