Medida estética, de George D. Birkhof

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Ed. Universidad Nacional del Litoral, año 1945. Tamaño 24 x 16,5 cm. Traducción de Nicolás y José Babini. Estado: Usado muy bueno. Cantidad de páginas: 260

Por George D. Birkhoff
Cambridge, Massachusetts Octubre, 1932

La estructura formal de la música occidental comenzó a interesarme hace aproximadamente treinta años. Parecía evidente que debía de haber allí algún principio director y sin embargo no parecía haberse encontrado ninguna explicación satisfactoria de la forma musical.

Examinando mi propia y limitada experiencia musical, deduje que el notable fenómeno de la melodía depende principalmente del arreglo ordenado de las notas musicales en modos que el oído aprecia. Además parecía probable que estas relaciones de orden pudieran clasificarse mediante métodos empíricos y que debía encontrarse que las mejores melodías estaban caracterizadas por un número excepcional de tales relaciones. Siguiendo este camino surgió en mi mente la teoría de la medida estética y el enigma de la melodía tomó el aspecto de un problema casi matemático que yo, como matemático, podía estudiar provechosamente.

A pesar de la importancia y fascinación de la investigación así sugerida, postergué toda consideración ulterior de la misma con el objeto de dejar lugar a estudios puramente matemáticos. Pero en 1924 retorné a estas ideas y traté de desarrollarlas. Pronto surgió que la teoría se ilustraba más simplemente con objetos estéticos tales como polígonos, mosaicos y vasos, que con la música. Presenté los resultados preliminares en estos campos de las formas geométricas en conferencias dictadas en Pomona, Colorado y Grinnell Colleges durante el mismo año y ante la Mathematicál Association of America en Ithaca, en el verano de 1925. En 1928 el Bureau of International Research of Harvard University and Badcliffe College me permitió pasar medio año de licencia en el Lejano Oriente y en Europa, para obtener así un marco más apropiado; con gran pesar mío no me fue posible llevar a cabo todas las ideas que tenía entonces en la mente. En tiempo más reciente, con nueva ayuda del Bureau, me he ocupado en la aplicación de la teoría de la medida estética a la música misma y a la poesía. Durante todo este período he expuesto los resultados obtenidos cada vez que se presentó la ocasión.

De este modo el desarrollo de mis primeras ideas concernientes a la música, me llevó al ambicioso proyecto del presente libro, que no es otro que el de poner el básico aspecto formal del arte bajo la condición de la simple fórmula matemática que define la medida estética. Esto ha implicado la tarea de aislar y avaluar una gran cantidad de factores estéticos, mediante el inseguro método de la introspección. Cualquier tentativa inicial de esta clase es necesariamente de ensayo, por cuya razón debo pedir indulgencia al lector.

Las bases psicológicas de la fórmula, su aplicación a formas poligonales, a ornamentos y a vasos, están desarrolladas en los primeros cuatro capítulos.

En los capítulos V-VII se tratan los problemas musicales fundamentales relativos a los acordes diabólicos, armonía y melodía. En el capítulo VIII he aventurado una aproximación a la cuestión de la calidad musical en la poesía desde el-mismo punto de vista.

Una breve revista de las teorías estéticas del pasado se emprende en el capítulo IX con el objeto de aclarar qué papel ha sido asignado a la forma en el arte desde los tiempos de Platón. Se encuentra que muchas de esas teorías estéticas admiten una interpretación a la luz de la teoría de la medida estética. El capítulo final está dedicado a algunas observaciones referentes al campo general del arte.

En lo posible he tratado de emplear la fórmula de una manera más o menos mecánica con fines de construcción. Éste ha sido un experimento interesante e instructivo, pero el lector tendrá que juzgar por sí mismo en qué medida las formas de vasos, las melodías simples y los poemas cortos así obtenidos son felices.

Por supuesto que sería absurdo suponer la fórmula matemática básica como un “deus ex machina”, y afirmar así con el Doctor en “Frier Bacon and Frier Bongay”: For he that reades but Mathematicke rules Sfiall finde conclusions that avalle to worke Wonders that passe the common sense of men.

La verdadera función del concepto de la medida estética es proveer procedimientos sistemáticos de análisis en simples dominios formales de la estética. Hay una enorme diferencia entre el descubrimiento de un diamante y su tasación; aún más entre la creación de una obra de arte y un análisis de los factores formales que entran en ella.

CONTENIDO
CAPITULO I, LA FÓRMULA BÁSICA
1- El problema estético
2- Naturaleza de la experiencia estética
3- Formulación matemática del problema
4- El sentimiento de esfuerzo en la experiencia estética
5- El significado psicológico de “complejidad”
6- Asociación y sentimiento estético
7- La naturaleza intuitiva de tales asociaciones
8- El papel de los sentimientos sensoriales
9- Asociaciones formales y connotativas
10- Elementos formales y connotativos de orden
11- Tipos de elementos formales de orden
12- El significado psicológico de “orden”
13- El concepto de medida estética
14- La fórmula básica
15- Un argumento matemático
16- Alcance de la fórmula
17- Un diagrama
18- El método de aplicación.
CAPITULO II, FORMAS POLIGONALES
1- Los polígonos como objetos estéticos
2- Exigencias preliminares
3- Simetría de los polígonos
4- Triángulos isósceles y equiláteros
5- Triángulos escalenos
6- Conclusiones relativas a la formas triangulares
7- El triángulo favorito de Platón
8- El triángulo escaleno en el arte japonés
9- Cuadriláteros simétricos (primer tipo)
10- Cuadriláteros simétri¬cos (segundo tipo)
11- Cuadriláteros simétricos (tercer tipo)
12- Cuadriláteros asimétricos
13- Conclusiones respecto de las formas cuadriláteras
14- El “Rectángulo Aureo” y otros
15- Comparación de formas rectangulares
16- Uso de las formas rectangulares en la composición
17- Las formas de los polígonos pentagonales y hexagonales
18- Formas más complicadas
19- Sobre la estructura de la fórmula estética
20- La complejidad C.
21- El elemento V de simetría vertical
22- El elemento E de equilibrio
23- El grupo de movimientos de un polígono
24- El elemento R de simetría central
25- El elemento HV de relación de una red horizontal-vertical
26- El elemento F de forma no satisfactoria
27- Recapitulación de la mentos F de forma no satisfactoria
28- Recapitulación de la definición de la medida estética
29- Aplicación a 90 polígonos
30- Modificaciones posibles
31- El tratamiento matemático de las cuestiones estéticas
32- Sobre la inseguridad y las ilusiones ópticas
CAPITULO III, ORNAMENTOS Y MOSAICOS
1- Ornamentos y movimientos
2- Cuasi-ornamentos
3- El grupo de movimientos de un ornamento
4- Clasificación de los ornamentos
5- Sobre la determinación de especies
6- Ornamentos y cuadros ornamentales
7- El problema estético de los ornamentos
8- Los polígonos como ornamentos rectilíneos simples
9- Medida estética de los ornamentos rectilíneos simples
10- Algunos comentarios explicativos
11- Aplicación a 30 ornamentos rectilíneos simples
12- Otros tipos de ornamentos
13- La medida estética de los mosaicos
14- Aplicación a 12 mosaicos.
CAPITULO IV, VASOS
1- El problema del vaso
2- El método de ataque
3- El símbolo del vaso
4- Puntos característicos y tangentes
5- Los elementos de orden apreciables
6- El problema de la regularidad de contorno
7- Curvatura del contorno
8- Requisitos para la regularidad de contorno
9- Requisitos convencionales y utilitarios
10- Sobre la interpretación de la forma de un vaso
11- La complejidad C de la forma de vaso
12- El orden O de una forma de vaso
13- La medida estética M de la forma de vaso
14- Aplicación a algunos vasos chinos
15- Análisis detallado
16- Tres vasos experimentales
17- Conclusiones generales
CAPITULO V, LOS ACORDES DIATÓNICOS
1- El problema de la forma musical
2- La armonía como factor estético
3- Consonancia y disonancia
4- Notas musicales, intervalos, triadas y acordes
5- La escala diatónica natural
6- La escala diatónica temperada
7- La escala cromática. Tonalidad. Modulación
8- Modos mayor y menor
9- El problema de la armonía. El acorde simple
10- Los intervalos
11- Las tríadas mayor, menor y disminuida
12- Los acordes correspondientes
13- Los acordes de 7a y 9a de dominante
14- Los acordes superiores de dominante
15- Los derivados de los acordes de dominante
16- Acordes regulares e irregulares
17- Clasificación final de los acordes regulares
18- Acordes regulares incompletos y ambiguos
19- El valor de acorde Cd.
20- El valor de intervalo I
21- El valor D de la nota dominadora
22- La medida estética m del acorde simple
23- Las tríadas completas en posición básica
24- Las tríadas incompletas en posición básica
25- Las primeras inversiones de las tríadas
26- Las segundas inversiones de las tríadas
27- El acorde de 7a de dominante
28- El acorde de 9a de dominante
29- El acorde de 11a de dominante
30- El acorde de 13a de dominante
31- Los acordes derivados
32- Acordes irregulares
33- Resumen
CAPITULO VI, LA ARMONÍA DIATÓNICA
1- El problema de las sucesiones de acordes
2- El método de ataque
3- Nueva limitación del problema
4- La limitación de los saltos
5- La limitación de semejanza de función
6- La ley de resolución
7- El elemento de resolución: R = 4, —4
8- El elemento de cadencia: Cl = 4, —2
9- El elemento de sucesión dominante. D = 4
10- Los elementos SF = 4 y SF = 4
11- El elemento de progresión: P = 2,0, —2
12- El elemento negativo FE = 4
13- El elemento negativo del acorde de mediante: Mt = 2,4
14- El elemento negativo de la sensible: LN = 2,4
15- El elemento negativo de notas estacionarias: SN = 2,4
16- El elemento negativo del saldo disonante: DL = 2
17- El elemento negativo de movimiento similar: SM = 2
18- El elemento negativo de salto del bajo: BL = 4
19- Recapitulación de la definición de M para sucesiones de acordes
20- Comparación con la clasificación de Prout
21- Observaciones generales.
CAPITULO VII, LA MELODÍA
1- Introducción
2- El problema de la melodía
3- El papel de la armonía
4- La cuestión del fraseo y la comparación
5- Limitación de saltos
6- Análisis preparatorio de un canto coral de Beethoven
7- Definición de O, C y M para melodías sencillas
8- Otras condiciones de forma satisfactoria
9- Aplicación a la melodía
10- Primera melodía experimental
11- Segunda melodía experimental
12- Tercera melodía experimental
13- El problema del ritmo.
CAPITULO VIII, LA CALIDAD MUSICAL EN LA POESÍA
1- La naturaleza tripartita del verso
2- La calidad musical en la poesía
3- Rima
4- Asonancia
5- Aliteración.
6- Los sonidos de vocales musicales
7- “Anastomosis”
8- El concepto del verso de Poe
9- El concepto del verso de Sylvester
10- Sobre el análisis fonético
11- La complejidad C
12- El elemento de rima 2r
13- El elemento aa de aliteración y asonancia
14- El elemento 2ae de exceso de aliteración y asonancia
15- El elemento 2m de vocales musicales
16- El elemento 2ce de exceso de consonantes
17- La fórmula estética
18- Análisis de cinco versos de “Kubla Kahn”
19- Un poema experimental
20- Otros ejemplos
21- Prosa sonora
22- La poesía en otros idiomas. —
23- El papel de la calidad musical en la poesía
CAPITULO IX, TEORÍAS ESTÉTICAS ANTERIORES
1- Introducción
2- Platón
3- Aristóteles
4- Plotino
5- El punto de vista griego
6- Luca Paciolo. Michelángelo
7- Fracastoro
8- Ingenio y buen gusto
9- Descartes
10- Leibniz
11- Boileau. De Crousaz
12- Vico
13- Bameau
14- Euler
15. Hogarth
16- Burke
17. Hemsterhuis
18- Kant
19- Schiller. Hegel
20- Herbart
21- Schleiermacher
22- Poe
23- Spencer
24- Helmholtz
25- Sylvester
26- Hanslick
27- Fechner
28- Lanier
29- Lipps
30- Gurney
31- Croce
32- Boss. Pope
33- El arte desde el punto de vista oriental
34- Observaciones finales
CAPITULO X, ARTE Y ESTÉTICA
1- Tipos de experiencia estética. Arte
2- La variabilidad de los valores estéticos
3- Estética cualitativa y cuantitativa
4- La aplicación cualitativa de la fórmula estética
5- Trazado decorativo
6- Pintura, escultura y arquitectura
7- Música occidental
8- Música oriental
9- La evolución en el arte
10- Arte creador
INDICE DE LAS LAMINAS
I- Detalle del mosaico del pavimento de Santa María Maggiore, Roma
II-VII- Medidas estéticas de 90 formas poligonales
VIII- Las siete especies de ornamentos uni-dimensionales
IX-XII- Las 17 especies de ornamentos bi-dimensionales
XIII-XIV- Medidas estéticas de 30 ornamentos simples
XV- Medidas estéticas de 12 mosaicos
XVI-XVII- Medidas estéticas de ocho vasos chinos
XVIII- Tres formas de vaso experimentales
XIX- “Danae” de CORREGGIO (con análisis lineal); “La familia de Darío ante Alejandro” de VERONESE
XX- Fachada sur del Taj Mahal, Agrá